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Álgebra A 62
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
4.
Clasificar cada uno de los siguientes sistemas lineales. Cuando el sistema sea compatible determinado, obtener la solución. Cuando el sistema sea compatible indeterminado, describir el conjunto de todas las soluciones. Si es incompatible, no hacer nada.
h) $\left\{\begin{aligned}x+2y-z+2t&=0\\ x+y+z+2t&=1\\ -x+y-5z-2t&=-3\end{aligned}\right.$
h) $\left\{\begin{aligned}x+2y-z+2t&=0\\ x+y+z+2t&=1\\ -x+y-5z-2t&=-3\end{aligned}\right.$
Respuesta
Nos armamos la matriz ampliada asociada al sistema y escalonamos:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & | & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & | & 1 \\ -1 & 1 & -5 & -2 & | & -3 \end{pmatrix}$
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$F_2 - F_1 \Rightarrow F_2$
$F_3 + F_1 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & | & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 3 & -6 & 0 & | & -3 \end{pmatrix}$
Para facilitar cuentas, divido la Fila $3$ por $3$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & | & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & | & -1 \end{pmatrix}$
$F_3 + F_2 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & | & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
Listo, ya está escalonado y el sistema equivalente escalonado es:
$\left\{\begin{aligned} x+2y-z+2t&=0 \\ -y+2z&=1 \end{aligned}\right.$
💡 Fijate que el sistema escalonado al final terminó siendo un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas ($x, y, z, t$) -> Es un SCI.
Vamos entonces a despejar para obtener cuáles son las infinitas soluciones de este sistema...
De la segunda ecuación yo voy a elegir despejar $y$:
$y = -1 + 2z$
...y ahora reemplazo en la primera:
$x + 2(-1 + 2z) - z + 2t = 0$
$x - 2 + 4z - z + 2t = 0$
$x - 2 + 3z + 2t = 0$
$x = 2 - 3z - 2t$
Perfectoooo, las soluciones de este sistema son de la forma:
$(x,y,z,t) = (2 - 3z - 2t, -1 + 2z, z, t)$ con $z,t \in \mathbb{R}$
...que también lo podemos reescribir así:
$= (2, -1, 0, 0) + z(-3, 2, 1, 0) + t(-2, 0, 0, 1)$ con $z, t \in \mathbb{R}$
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